斯特林公式的简单理解

斯特林公式用于 n 阶乘近似，本文采用积分放缩的思想，得出了 $\ln n!$ 的一种近似，虽然和真正的斯特林公式在精度上有差距，但是对于 n 很大的情况有较小的误差，可以应用于一些代数式的化简。

积分放缩

令 $f(x)=\ln x$，考察 $f(x)$ 的图像：

设 $C(n-1,0),D(n,0),n\in Z^{+}$;   $AD,BC\perp x\mathrm{轴}$.
则 $CD=1$,  $f(n)\times 1$ 表示 $\mathrm{矩}\mathrm{形}ADCE$ 的面积，
      ${\int }_{n-1}^{n}f(x)\mathrm{d}x$    表示曲线段 $AB$ 与 $x\mathrm{轴}$ 围成的面积。
又因为 $f(x)$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增，可以得到：

$$f(n)>{\int }_{n-1}^{n}f(x)\mathrm{d}x$$

于是有：

$$f(n-1)>{\int }_{n-2}^{n-1}f(x)\mathrm{d}x$$ $$f(n-2)>{\int }_{n-3}^{n-2}f(x)\mathrm{d}x$$ $$⋮$$ $$f(2)>{\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$$ $$f(1)=0$$

左右两边分别累加，得到：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{k=1}^{n}f(k)>{\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

$\ln n!$ 的近似

将 $\ln n!$ 展开：

$$\ln n!=\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln n=\sum _1^n\ln x$$

根据不等式 $\text{(1)}$，可以得到：

$$\ln n!>{\int }_1^n\ln x\mathrm{d}x=n\ln n-n+1$$

当 n 很大的时候，可以近似认为不等式两边相等，此时 1 对于表达式的影响可以忽略不记，即：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \ln n!\approx n\ln n-n\end{array}$$

图像对比

在对数坐标下绘制出 $\ln x!$ 和 $x\ln x-x$ 的函数图像：

可以看到，随着 $x$ 的增大，两条函数图像几乎重合，即可认为它们近似相等。

附：斯特林公式

斯特林公式：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& n!\approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n\end{array}$$

两边取对数，得：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \ln n!\approx n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln n+\frac{1}{2}\ln (2\pi )\end{array}$$