Γ(12)

本文计算了 $\Gamma(\frac12)$ 的值，并对其中涉及的积分知识作了简单介绍。

$ \Gamma \mathrm{函数} $

$\Gamma \mathrm{函数}$ 定义为：

$$\mathrm{\Gamma }(n)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$$

我们暂时只在实数域内讨论 $\Gamma \mathrm{函数}$，即 $n\in R$ 的情况。

递推关系

$\Gamma \mathrm{函数}$ 有如下递推关系：

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$$

这一关系可以通过分部积分证明：

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-t}\mathrm{d}t=[-t^n{e}^{-t}]{}_0^{+\mathrm{\infty }}+n{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t=n\mathrm{\Gamma }(n)$$

当 $n\in Z^+$ 时，有

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=n(n-1)\mathrm{\Gamma }(n-1)=n(n-1)\cdots 2\cdot 1\cdot \mathrm{\Gamma }(1)$$

又因为

$$\mathrm{\Gamma }(1)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\mathrm{d}t=1$$

可以得到

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n(n-1)\cdots 2\cdot 1=n!$$

计算 $\Gamma(\frac12)$

先观察 $\Gamma(\frac12)$ 的表达式：

$$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-t}\mathrm{d}t$$

注意到，因为 $t\geq0$，将 $t$ 用 $x^2$ 替换后，就是高斯积分的表达式：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-t}\mathrm{d}t=2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }$$

所以，

$$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$$

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分部积分法

分部积分法的基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。
设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个连续可导函数，由乘积法则可知：

$$\frac{\mathrm{d}(uv)}{\mathrm{d}x}=u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$

对等式两边求不定积分，得

$$uv=\int u\mathrm{d}v+\int v\mathrm{d}u$$

移项后，得到不定积分形式的分部积分公式：

$$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$$

改成对 $x$ 积分，由此推出分部积分法在区间 $[a,b]$ 上的定积分形式：

$${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=[uv]{}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }v\mathrm{d}x$$

应用

在推导 $\Gamma \mathrm{函数}$ 的递推关系时，我们对这个式子使用了分部积分法：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-t}\mathrm{d}t$$

令 $u(t)=t^n$，$v(t)=-e^{-t}$，根据 $\text{(???)}$，则上式写成：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-t}\mathrm{d}t={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}u{v}^{\prime }\mathrm{d}t=[-t^n{e}^{-t}]{}_0^{+\mathrm{\infty }}+n{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$$

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高斯积分

高斯积分是高斯函数 $(e^{-x^2})$ 在整个实数线上的积分，记高斯积分的值为 $I$：

$$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$$

为了计算它的值，我们将它平方：

$$I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

注意这里做了两次积分，不能使用同一个变量。

表达式中出现了 $x^2+y^2$，因此在极坐标下计算会更加方便。
令 $x=r\cos\theta$,   $y=r\sin\theta$,   则 ${\rm d}x\,{\rm d}y=r\,{\rm d}r \,{\rm d}\theta$，代入原式并计算：

$$I^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}\mathrm{d}{r}^2=\frac{1}{2}\cdot 2\pi =\pi$$

由此得到高斯积分的结果：

$$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }$$

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二重积分的面积微元

关于 ${\rm d}x \,{\rm d}y=r\,{\rm d}r \,{\rm d}\theta$，现给出一种简单直观的证明 (严谨的证明需要用到雅可比矩阵).
直角坐标系中，面积微元可以理解为 $y$ 方向上的一段微小增量 ${\rm d}y$，沿着 $x$ 方向扫过 ${\rm d}x$ 的距离所围成的矩形的面积，所以 $\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

极坐标系中，面积微元可以类比为沿极轴的一段微小增量 ${\rm d}r$，绕原点旋转 ${\rm d}\theta$ 后围成圆环的面积，所以

$$\mathrm{d}S=S_{\mathrm{大}\mathrm{扇}\mathrm{形}}-S_{\mathrm{小}\mathrm{扇}\mathrm{形}}=\frac{1}{2}\mathrm{d}\theta (r+\mathrm{d}r{)}^2-\frac{1}{2}\mathrm{d}\theta r^2=\frac{1}{2}\mathrm{d}\theta \cdot ((\mathrm{d}r{)}^2+2r\mathrm{d}r)$$

忽略掉高阶无穷小项 $({\rm d}r)^2$，最后得到：

$$\mathrm{d}S=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$