\( \Gamma(\frac12) \)

本文计算了 $\Gamma(\frac12)$ 的值，并对其中涉及的积分知识作了简单介绍。

$ \Gamma \mathrm{函数} $

$\Gamma \mathrm{函数}$ 定义为：

\[\begin{equation} \Gamma(n)=\int_0^{+\infty} {t^{n-1}e^{-t}\,{\rm d}t} \label{eq:base1} \end{equation}\]

我们暂时只在实数域内讨论 $\Gamma \mathrm{函数}$，即 $n\in R$ 的情况。

递推关系

$\Gamma \mathrm{函数}$ 有如下递推关系：

\[\begin{equation} \Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \label{eq:base2} \end{equation}\]

这一关系可以通过分部积分证明：

\[\Gamma(n+1)=\int_0^{+\infty} {t^{n}e^{-t}\,{\rm d}t}=[-t^n e^{-t}]{^{+\infty}_0}+n\int_0^{+\infty} {t^{n-1}e^{-t}\,{\rm d}t}=n\Gamma(n)\]

当 $n\in Z^+$ 时，有

\[\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1) \Gamma(n-1)=n(n-1)\cdots2\cdot1\cdot\Gamma(1)\]

又因为

\[\Gamma(1)=\int_0^{+\infty} {e^{-t}\,{\rm d}t}=1\]

可以得到

\[\Gamma(n+1)=n(n-1)\cdots2\cdot1=n!\]

计算 $\Gamma(\frac12)$

先观察 $\Gamma(\frac12)$ 的表达式：

\[\Gamma(\frac12)=\int_0^{+\infty} {t^{-\frac12}e^{-t}\,{\rm d}t}\]

注意到，因为 $t\geq0$，将 $t$ 用 $x^2$ 替换后，就是高斯积分的表达式：

\[\int_0^{+\infty} {t^{-\frac12}e^{-t}\,{\rm d}t}=2\int_0^{+\infty} {e^{-x^2}\,{\rm d}x}=\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-x^2}\,{\rm d}x}=\sqrt\pi\]

所以，

\[\begin{equation} \Gamma (\frac12)=\sqrt\pi \label{eq:base3} \end{equation}\]

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分部积分法

分部积分法的基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。
设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个连续可导函数，由乘积法则可知：

\[\frac{\mathrm{d}(uv)}{\mathrm{d}x} = u \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} + v \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\]

对等式两边求不定积分，得

\[uv=\int u{\mathrm{d}v}+\int v{\mathrm{d}u}\]

移项后，得到不定积分形式的分部积分公式：

\[\begin{equation} \int u{\mathrm{d}v}=uv-\int v{\mathrm{d}u} \label{eq:base4} \end{equation}\]

改成对 $x$ 积分，由此推出分部积分法在区间 $[a,b]$ 上的定积分形式：

\[\begin{equation} \int_a^b uv'{\mathrm{d}x}=[uv]{^b_a}-\int_a^b u'v{\mathrm{d}x} \label{eq:base5} \end{equation}\]

应用

在推导 $\Gamma \mathrm{函数}$ 的递推关系时，我们对这个式子使用了分部积分法：

\[\int_0^{+\infty} {t^{n}e^{-t}\,{\rm d}t}\]

令 $u(t)=t^n$，$v(t)=-e^{-t}$，根据 \eqref{eq:base5}，则上式写成：

\[\int_0^{+\infty} {t^{n}e^{-t}\,{\rm d}t}=\int_0^{+\infty} {uv' \,{\rm d}t}=[-t^n e^{-t}]{^{+\infty}_0}+n\int_0^{+\infty} {t^{n-1}e^{-t}\,{\rm d}t}\]

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高斯积分

高斯积分是高斯函数 $(e^{-x^2})$ 在整个实数线上的积分，记高斯积分的值为 $I$：

\[I=\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-x^2} \,{\rm d}x}\]

为了计算它的值，我们将它平方：

\[I^2=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-(x^2+y^2)} \,{\rm d}x \,{\rm d}y}\]

注意这里做了两次积分，不能使用同一个变量。

表达式中出现了 $x^2+y^2$，因此在极坐标下计算会更加方便。
令 $x=r\cos\theta$,   $y=r\sin\theta$,   则 ${\rm d}x\,{\rm d}y=r\,{\rm d}r \,{\rm d}\theta$，代入原式并计算：

\[I^2=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2}\,r\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta=\frac12 \int_{0}^{2\pi}{\rm d}\theta \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2}\,{\rm d}r^2=\frac12 \cdot 2\pi=\pi\]

由此得到高斯积分的结果：

\[\begin{equation} I=\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-x^2} \,{\rm d}x}=\sqrt\pi \label{eq:base6} \end{equation}\]

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二重积分的面积微元

关于 ${\rm d}x \,{\rm d}y=r\,{\rm d}r \,{\rm d}\theta$，现给出一种简单直观的证明 (严谨的证明需要用到雅可比矩阵).
直角坐标系中，面积微元可以理解为 $y$ 方向上的一段微小增量 ${\rm d}y$，沿着 $x$ 方向扫过 ${\rm d}x$ 的距离所围成的矩形的面积，所以 \({\rm d}S={\rm d}x\,{\rm d}y\)

极坐标系中，面积微元可以类比为沿极轴的一段微小增量 ${\rm d}r$，绕原点旋转 ${\rm d}\theta$ 后围成圆环的面积，所以

\[{\rm d}S=S_{大扇形} - S_{小扇形}=\frac12 {\rm d}\theta\,(r+{\rm d}r)^2-\frac12 {\rm d}\theta\,r^2=\frac12 {\rm d}\theta\cdot(({\rm d}r)^2+2r\,{\rm d}r)\]

忽略掉高阶无穷小项 $({\rm d}r)^2$，最后得到：

\[{\rm d}S=r\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta\]