\( \Gamma(\frac12) \)
\( \Gamma(\frac12) \) 的计算和相关积分知识
本文计算了 $\Gamma(\frac12)$ 的值,并对其中涉及的积分知识作了简单介绍。
$ \Gamma \mathrm{函数} $
$\Gamma \mathrm{函数}$ 定义为:
\[\begin{equation} \Gamma(n)=\int_0^{+\infty} {t^{n-1}e^{-t}\,{\rm d}t} \label{eq:base1} \end{equation}\]我们暂时只在实数域内讨论 $\Gamma \mathrm{函数}$,即 $n\in R$ 的情况。
递推关系
$\Gamma \mathrm{函数}$ 有如下递推关系:
\[\begin{equation} \Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \label{eq:base2} \end{equation}\]这一关系可以通过分部积分证明:
\[\Gamma(n+1)=\int_0^{+\infty} {t^{n}e^{-t}\,{\rm d}t}=[-t^n e^{-t}]{^{+\infty}_0}+n\int_0^{+\infty} {t^{n-1}e^{-t}\,{\rm d}t}=n\Gamma(n)\]当 $n\in Z^+$ 时,有
\[\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1) \Gamma(n-1)=n(n-1)\cdots2\cdot1\cdot\Gamma(1)\]又因为
\[\Gamma(1)=\int_0^{+\infty} {e^{-t}\,{\rm d}t}=1\]可以得到
\[\Gamma(n+1)=n(n-1)\cdots2\cdot1=n!\]计算 $\Gamma(\frac12)$
先观察 $\Gamma(\frac12)$ 的表达式:
\[\Gamma(\frac12)=\int_0^{+\infty} {t^{-\frac12}e^{-t}\,{\rm d}t}\]注意到,因为 $t\geq0$,将 $t$ 用 $x^2$ 替换后,就是高斯积分的表达式:
\[\int_0^{+\infty} {t^{-\frac12}e^{-t}\,{\rm d}t}=2\int_0^{+\infty} {e^{-x^2}\,{\rm d}x}=\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-x^2}\,{\rm d}x}=\sqrt\pi\]所以,
\[\begin{equation} \Gamma (\frac12)=\sqrt\pi \label{eq:base3} \end{equation}\]
分部积分法
分部积分法的基本思路是将不易求得结果的积分形式,转化为等价的但易于求出结果的积分形式。
设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是两个连续可导函数,由乘积法则可知:
对等式两边求不定积分,得
\[uv=\int u{\mathrm{d}v}+\int v{\mathrm{d}u}\]移项后,得到不定积分形式的分部积分公式:
\[\begin{equation} \int u{\mathrm{d}v}=uv-\int v{\mathrm{d}u} \label{eq:base4} \end{equation}\]改成对 $x$ 积分,由此推出分部积分法在区间 $[a,b]$ 上的定积分形式:
\[\begin{equation} \int_a^b uv'{\mathrm{d}x}=[uv]{^b_a}-\int_a^b u'v{\mathrm{d}x} \label{eq:base5} \end{equation}\]应用
在推导 $\Gamma \mathrm{函数}$ 的递推关系时,我们对这个式子使用了分部积分法:
\[\int_0^{+\infty} {t^{n}e^{-t}\,{\rm d}t}\]令 $u(t)=t^n$,$v(t)=-e^{-t}$,根据 \eqref{eq:base5},则上式写成:
\[\int_0^{+\infty} {t^{n}e^{-t}\,{\rm d}t}=\int_0^{+\infty} {uv' \,{\rm d}t}=[-t^n e^{-t}]{^{+\infty}_0}+n\int_0^{+\infty} {t^{n-1}e^{-t}\,{\rm d}t}\]
高斯积分
高斯积分是高斯函数 $(e^{-x^2})$ 在整个实数线上的积分,记高斯积分的值为 $I$:
\[I=\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-x^2} \,{\rm d}x}\]为了计算它的值,我们将它平方:
\[I^2=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-(x^2+y^2)} \,{\rm d}x \,{\rm d}y}\]注意这里做了两次积分,不能使用同一个变量。
表达式中出现了 $x^2+y^2$,因此在极坐标下计算会更加方便。
令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, 则 ${\rm d}x\,{\rm d}y=r\,{\rm d}r \,{\rm d}\theta$,代入原式并计算:
由此得到高斯积分的结果:
\[\begin{equation} I=\int_{-\infty}^{+\infty} {e^{-x^2} \,{\rm d}x}=\sqrt\pi \label{eq:base6} \end{equation}\]二重积分的面积微元
关于 ${\rm d}x \,{\rm d}y=r\,{\rm d}r \,{\rm d}\theta$,现给出一种简单直观的证明 (严谨的证明需要用到雅可比矩阵).
直角坐标系中,面积微元可以理解为 $y$ 方向上的一段微小增量 ${\rm d}y$,沿着 $x$ 方向扫过 ${\rm d}x$ 的距离所围成的矩形的面积,所以 \({\rm d}S={\rm d}x\,{\rm d}y\)
极坐标系中,面积微元可以类比为沿极轴的一段微小增量 ${\rm d}r$,绕原点旋转 ${\rm d}\theta$ 后围成圆环的面积,所以
\[{\rm d}S=S_{大扇形} - S_{小扇形}=\frac12 {\rm d}\theta\,(r+{\rm d}r)^2-\frac12 {\rm d}\theta\,r^2=\frac12 {\rm d}\theta\cdot(({\rm d}r)^2+2r\,{\rm d}r)\]忽略掉高阶无穷小项 $({\rm d}r)^2$,最后得到:
\[{\rm d}S=r\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta\]